最大似然估计法(Maximum Likelihood Estimation,简称MLE)是统计学中常用的一种参数估计方法。这种方法的基本思想是:已知某个概率分布模型,通过观察到的样本数据,找到使得这些样本数据出现的概率最大的参数值,作为该模型的参数估计。
具体来说,假设我们有一个随机变量X,其概率密度函数或概率质量函数为f(x|θ),其中θ是我们需要估计的参数。现在我们观测到了n个独立同分布的样本x1,x2,...,xn,那么这n个样本出现的概率可以表示为:
L(θ|x1,x2,...,xn) = f(x1|θ)f(x2|θ)...f(xn|θ)
这个概率被称为似然函数(Likelihood Function)。我们的目标就是找到使得似然函数取最大值的参数θ,这个θ就被称为最大似然估计量。
求解最大似然估计量通常可以通过对数似然函数来实现。因为对数是一个单调增函数,所以对数似然函数和似然函数有相同的最大值点。而且,对数操作可以将连乘转化为加法,简化计算。因此,我们可以先对似然函数取对数,得到对数似然函数l(θ|x1,x2,...,xn),然后通过求解l(θ|x1,x2,...,xn)的最大值点,得到最大似然估计量。
需要注意的是,最大似然估计法并不保证一定能找到全局最优解,可能会陷入局部最优。此外,如果模型选择不当,或者样本数据不足以反映总体特性,最大似然估计的结果可能会有偏差。