中心极限定理是概率论中的一个基本定理,它的主要思想是:对于大量的独立随机变量的和,只要每个随机变量的数学期望和方差都存在,那么它们的和的分布趋向于正态分布,无论这些随机变量本身的分布是什么形式。
这个定理在统计学中有很重要的应用。例如,在样本量足够大的情况下,即使总体的分布未知,我们也可以利用中心极限定理来近似地计算抽样分布。这就是为什么在许多统计推断中,我们都假设样本的分布是正态分布的原因。
具体来说,中心极限定理包括三个部分:林德伯格-勒维中心极限定理、李雅普诺夫中心极限定理和棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理。其中,最常用的是林德伯格-勒维中心极限定理,它指出,如果一组独立同分布的随机变量的数学期望为μ,方差为σ²,并且满足某些条件,那么这组随机变量的和的分布趋向于正态分布N(μn, σ²n),其中n是随机变量的数量。
需要注意的是,中心极限定理并不是说所有的随机变量的和都是正态分布,而是说当随机变量的数量足够大时,它们的和的分布会接近正态分布。